Question

5．已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE，CE，∠BED=∠BAC=2∠DEC．
（1）如图①，若AC=AB，∠BAC=90°时，AE=2，求△AEB的面积．
（2）如图②，若AC=AB，探究BE，AE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在EB上截取EF=AE，利用AAS即可证得△ABF≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BE=2AE=4，由三角形的面积公式可求得结论；
（2）在AD上截取AF=BE，连接CF，易证△ACF≌△BAE，可得CF=AE，BE=AF，∠AEB=∠CFA，再根据∠BDE=2∠DEC，即可求得EF=FC，即可解题．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，∠BED=∠BAC，
∴∠BED=90°，
在EB上截取EF=AE，设∠BED=2α，
∴∠FAE=∠AFE=α，
∴∠AEC=∠AFB，
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=2α，∠ABE+∠BAD=∠BED=2α，
∴∠CAE=∠ABE
在△ABF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFB}\\{∠CAE=∠ABE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF=AE=EF，
∴BE=2AE=4，
∴△AEB的面积=$\frac{1}{2}$AE•BE=$\frac{1}{2}$×2×4=4；

（2）在AD上截取AF=BE，连接CF，
在△ACF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=AB}\\{∠DAC=∠ABE}\\{AF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BAE，（SAS）
∴CF=AE，BE=AF，∠AEB=∠CFA，
∴∠BED=∠CFD
∵∠BED=2∠DEC，∠CFD=∠DEC+∠ECF，
∴∠DEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∴AE=EF，
∴BE=AF=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACF≌△BAE是解题的关键．