Question

【题目】如图，在矩形中，，，点是的中点，点是线段的一个动点，点是线段上的点，，连接将沿翻折，点的对应点为点，连接，，若为直角三角形，则为________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分类讨论：B’为直角顶点和E点为直角顶点，过B’作AB的平行线角AD、BC于点M和N，得到△AB’M∽△B’NG由此求出B’N的长，再根据△B’ME∽△FH B’进而求出CF.

解：分类讨论：

第一种情况：当B’为直角顶角时，如下图所示：

过B’作AB的平行线角AD、BC于点M和N，过F点作FH⊥MN与H.

由折叠知：AB’=AB=6，BG’=BG=2，∠AB’G=∠B=90°

∴∠AB’M+∠GB’N=90°

又∠AB’M+∠B’AM=90°

∴∠GB’N=∠B’AM，且∠AMN=∠MNB=90°

∴△AB’M∽△B’NG，设B’N=x

则，代入数据：，得

∴

在Rt△GB’N中，由勾股定理有：，代入数据：

，解得(舍去)

∴

∵∠EB’M+∠FB’H=90°

又∠HFB’+∠FB’H=90°

∴∠EB’M=∠HFB’，且∠EMN=∠MNC=90°

∴△EB’M∽△B’HF

∴，代入数据：，解得

∴.

第二种情况：当E为直角顶角时，如下图所示：

∵∠DEF+∠EFD=90°

又∠DEF+∠B’EM=90°

∴∠B’EM=∠EFD，且∠D=∠NME=90°

∴△DEF∽△EMB’

∴，由第一种情况知：，代入数据

∴，解得

∴.

故答案为：或