题目内容
【题目】如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=7，AE=
，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．
【答案】（1）①AE=BF；证明见解析；②DF=
；（2）DF=
．
【解析】
（1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论，
②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，
（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案．
（1）①AE=BF，理由如下：
证明：∵ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∵△COD绕点O旋转得△EOF，
∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF
∵∠BOD=∠AOC=180°
∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE
即∠BOF=∠AOE
∴△BOF≌△AOE（SAS），
∴BF=AE
②∵OB=OD=OF，
∴∠BFD=90°
∴△BFD为直角三角形，
∴
，
∵BF=AE
∴
∵BD=7，AE=
∴DF=
（2））∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=
AC=3，OB=OD=BD=5，
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE，
∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD
∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB
∴ 
，且∠EOA=∠FOB
∴△AOE∽△BOF，
∴ 
∵OB=OF=OD
∴△BDF是直角三角形，
∴
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