Question

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x²＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．
(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．
(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

Answer 1

(1)y＝－   (2)k<0  x≤－   (3)k＝±

解：(1)因为k＝－2，所以A(1，－2)，
设反比例函数为y＝，因为点A在函数的图象上，所以－2＝，
解得k₁＝－2，
反比例函数解析式为y＝－.
(2)由y＝k(x²＋x－1)＝k－k，得抛物线对称轴为直线x＝－，
当k>0时，反比例函数不存在y随着x的增大而增大的取值范围，所以k<0，
此时，当x<0或x>0时，反比例函数值y随着x的增大而增大；
当x≤－时，二次函数值y随着x的增大而增大，所以自变量x的取值范围是x≤－.
(3)由题(2)得点Q的坐标为，
因为AQ⊥BQ，点O是AB的中点，
所以OQ＝AB＝OA，
得＋k²＝1²＋k²，解得k＝±.