Question

6．如图，直线l的表达式为y=kx+3（k＞0），与y轴交于点A，点C在x轴的负半轴上，过点C作BC⊥AC交直线l于点B，且BC=CA，已知AC=$\sqrt{10}$，求k的值．

Answer 1

分析 作BD⊥x轴于D，根据题意求出OC的长，根据全等三角形的判定定理证明△BCD≌△CAO，求出点B的坐标，运用待定系数法解得即可．

解答 解：作BD⊥x轴于D，
∵当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），即OA=3，
∵AC=$\sqrt{10}$，OA=3，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=1，
∵BC⊥AC，
∴∠BCD+∠ACO=90°，又∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
在△BCD和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAO}\\{∠BDC=∠COA}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=C0=1，CD=OA=3，
则OD=4，
∴点B的坐标为（-4，1），
则-4k+3=1，
解得k=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是一次函数知识的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．