Question

15．如图，直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=-$\frac{1}{2}$x交于点C，D为线段OC上的动点，D与C，O不重合，作DE∥OB交AB于E，以DE为边在DE的右侧作正方形DEFO，正方形DEFG与△BOC重叠部分的面积为S，D点的横坐标为x，求S与x的函数关系式．

Answer 1

分析 解：设D（x，-$\frac{1}{2}$x），根据DE∥OB，得到E（x，x+6），求得DE=$\frac{3}{2}$x+6，当GF落在y轴上时，解方程组得到C（-4，2），求得x=-$\frac{12}{5}$，当-4＜x≤-$\frac{12}{5}$时，如图1，当-$\frac{12}{5}$＜x＜0时，如图3，根据矩形的面积公式即可得到结论．

解答 解：设D（x，-$\frac{1}{2}$x），
∵DE∥OB，
∴E（x，x+6），
∴DE=$\frac{3}{2}$x+6，
当GF落在y轴上时，
∵DE=DG，如图2，

解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+6}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=2}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴C（-4，2），
∴$\frac{3}{2}$x+6=-x，
∴x=-$\frac{12}{5}$，
当-4＜x≤-$\frac{12}{5}$时，如图1，

S=S_{四边形DEFG}=DE²=$\frac{9}{4}$x²+18x+36；
当-$\frac{12}{5}$＜x＜0时，如图3，

重叠部分为矩形DENM，
∴S=S_{四边形DENM}=DE•DM=-$\frac{3}{2}$x²-6x；
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}{x}^{2}+18x+36（-4＜x≤-\frac{12}{5}）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}-6x（-\frac{12}{5}＜x＜0）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了两直线平行与相交，正方形的性质，矩形的判定和性质，正确的识别图象是解题的关键．