如图1.点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G.OC到点E.使OG=2OD.OE=3OC.然后以OG.OE为邻边作矩形OEFG.连接AG.将正方形ABCD固定.将矩形OEFG绕点O逆时针旋转α角得到矩形OE′F′G′.如图2．(1)在旋转过程中.当∠OAG′是直角时.求α的度数,(2)若正方形ABCD的边长为1.在旋转过程中.求AF′长的最大值?如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=3OC，然后以OG、OE为邻边作矩形OEFG，连接AG，将正方形ABCD固定，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到矩形OE′F′G′，如图2．
（1）在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
（2）若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值？如果存在，请求出它的值．

分析（1）先根据旋转的性质得∠DOG′=α，OG=OG′=OA，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出∠AG′O，然后计算∠DOG′的度数即可；同样可得α的度数为150°；
（2）连结AF′、OF′，如图1，利用正方形的性质计算出OA=OD=OC，则可得到OG′和OE′的长，利用勾股定理计算出OF′，利用三角形三边的关系得到OA+OF′≥AF′（当点F在AO的延长线上取等号），于是可得到AF′的最大值．

解答解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OD，∠AOD=90°，
而OG=2OD，
∴OG=2OA，
∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，
∴∠DOG′=α，OG=OG′=2OA，
当∠OAG′=90°，
而OA=$\frac{1}{2}$OG′，
∴∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴∠DOG′=90°-60°=30°，
即α的度数为30°；
同样可得α的度数为150°；
∴α的度数为30°或150°；
（2）连结AF、OF，如图2，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OG′=2OD=$\sqrt{2}$，OE′=3OC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵四边形OG′F′E′为矩形，
∴E′F′=OG=$\sqrt{2}$，∠E′=90°，
在Rt△OE′F′中，OF′=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∵OA+OF′≥AF′（当点F′在AO的延长线上取等号），
∴AF′的最大值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{26}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$．