Question

4．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AC延长线上一点，E为AB上一点，且BE=CD，连接DE交BC于点F，求证：DF=EF．

Answer 1

分析 过点E作EG∥AC交BC于点G，根据两直线平行，同位角相等可得∠BGE=∠ACB，两直线平行，内错角相等可得∠D=∠GEF，∠DCF=∠EGF，再根据等边对等角可得∠ACB=∠B，从而得到∠B=∠BGE，根据等角对等边可得BE=GE，然后求出GE=CD，再利用“角边角”证明△EFG和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于点G，
则∠BGE=∠ACB，∠D=∠GEF，∠DCF=∠EGF，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠B=∠BGE，
∴BE=GE，
∵BE=CD，
∴GE=CD，
在△EFG和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GEF}\\{GE=CD}\\{∠DCF=∠EGF}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DFC（SAS），
∴DF=EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形．