Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，
（1）在线段AB上是否存在一点P，使以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，请确定点P的位置．
（2）在直线AB上是否存在一点P，使△PDC为直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，请确定点P的位置．

Answer 1

解：（1）①当△PAD∽△PBC时，
AP：PB=AD：BC，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=；
②当△ADP∽△BPC时，
AP：BC=AD：BP，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；
综合①②P点距离A点有三个位置：PA=；PA=1或PA=6；

（2）
存在．过点D作DE⊥BC于点E，则
DE=AB=7，
EC=BC-AD=3-2=1，
∴CD=5；
①当P在线段AB上，且∠DPC=90°时，
PD²+PC²=CD²，
∵△ADP∽△BPC，
∴AP：BC=AD：BP，
∵AP+PB=AB=7，AD=2，BC=3，
∴=
∴PA=1或PA=6；
②当P在线段AB上，且∠PDC=90°时，
PD²+DC²=CP²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP+PB=AB=7，
∴PA=；
③当P在线段AB的延长线上，且∠PDC=90°时，
PD²+DC²=CP²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP=PB+AB，
∴PB=-（舍去）；
④当P在线段AB的延长线上，且∠DPC=90°时，
PD²+PC²=CD²，
∵PD²=AD²+AP²，PC²=PB²+BC²，AP=PB+AB，
∴PA=．（舍去）
综合①②③④，在直线AB上存在一点P，使△PDC为直角三角形，它据A点的距离是：PA=1或PA=6；PA=．
分析：（1）题中没有指明具体的对应顶点，故应该分情况进行分析；
（2）假设存在一点P，使△PDC为直角三角形．题中没有指明具体的直角及P点的活动范围，故应该分情况进行分析．
点评：解答本题时需注意：找对相似三角形的对应角与对应边．