Question

在平面直角坐标系xoy中，点C，B的坐标分别为（-4，0），（0，2）．四边形ABCO是平行四边形，抛物线过A，B，C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（3）当t为何值时，以P，B，O为顶点的三角形与以点Q，B，O为顶点的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件先求出A的坐标，再根据待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（2）由（1）的解析式求出对称轴和D的坐标，由条件证明△EOB≌△QEF，得出BP=FQ，建立关于t的等式，即可求出t值．
（3）由条件可以从△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ进行计算，然后再从P、Q两点在y轴的同侧和异侧分别建立等量关系求出结论．
解答：解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点B，∴c=2．
由题意，有，
解得
∴所求抛物线的解析式为；

（2）将抛物线的解析式配方，得．
∴抛物线的对称轴为x=2．
当y=0时，x₁=-4，x₂=8
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，BO=EF．
∴△POB≌△QEF
∴BP=FQ．
∴t=6-3t，即t=．

（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ，
∴或，
即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y轴的同侧．
当PB=OQ时，t=8-3t，
∴t=2．
当OB²=PB•QO时，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得．
②若P、Q在y轴的异侧．
当PB=OQ时，3t-8=t，
∴t=4．
当OB²=PB•QO时，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．
解得．
∵0＜t≤4，
∴t=舍去，
∴t=．
∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质和等腰梯形的性质的运用，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质的运用及数学分类思想的运用．