Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．

（1）当⊙O的半径为2时，

①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是　 　；

②如图2，点D在直线yx上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；

（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线yx+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)①点A，B；②m或m；(2) ﹣2≤t≤1或2≤t．

【解析】

（1）①先求出点A，B，C关于点O的对称点A'，B'，C'进而求出AA'，BB'，CC'，再判断即可得出结论；
②先求出点D的坐标，再利用新定义建立不等式求解即可得出结论；
（2）先求出点E，F坐标，进而求出∠EFO=60°，进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置，再分情况利用新定义，即可得出结论．

（1）①∵A（0，1），

∴点A关于点O的对称点为A'（0，﹣1），

∴AA'＝1﹣（﹣1）＝2，

∵⊙O的半径为2，

∴点A是⊙O的称心点，

∵B（2，0），

∴点B关于点O的对称点为B'（﹣2，0），

∴BB'＝2﹣（﹣2）＝4，

∵⊙O的半径为2，

∴2＜BB'＜6，

∴点B是⊙O的称心点，

∵C（3，4），

∴点C关于点O的对称点为C'（﹣3，﹣4），

∴CC'25＞3r，

∴点C不是⊙O的称心点，

故答案为：点A，B；

②∵点D在直线yx上，且点D的横坐标为m，

∴D的坐标为（m，m），

∴点D关于点O的对称点D'的坐标为（﹣m，m），

∴DD'4|m|，

∵点D是⊙O的称心点，且⊙O的半径为2，

∴2≤4|m|≤6，

∴m或m，

∴点D的横坐标m的取值范围是m或m；

（2）如图，

对于直线yx+1，

令x＝0，

∴y＝1，F（0，1），

∴OF＝1，

令y＝0，

∴x+1＝0，

∴x，

∴E（，0），

∴OE，

在Rt△EOF中，tan∠EFO，

∴∠EFO＝60°，

过y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EF于G，

∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，且⊙T的半径为2，

∴TG最小＝2，

在Rt△FGT中，sin∠EFO，

∴FH，

∴OH＝FH﹣OF1，

当点T从H向下移动时，GH，FH越来越长，EH越来越短，到点G和E重合之后，GH越来越长，

∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，

∴FH＝1﹣t≤3，

∴t≥﹣2，

EH≤3，

∴3，

∴t，

∴﹣2≤t≤1，

当点T从点H向上移动时，点T在FH上时，T到EF的距离小于2，此种情况不符合题意，

当点T从点F向上移动时，ET≥EF，

即：ET≥2，

∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，

∴FH≥1，EH≤3，

∴t﹣1≥1，3，

∴2≤t，

且t的取值范围是﹣2≤t≤1或2≤t．