Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．
（1）求△ABC的面积及高CD；
（2）△ABC的角平分线AE交CD于点F，求证：∠CFE=∠CEF．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式列式计算即可；
（2）根据直角三角形的性质和角平分线的定义证明即可．

解答 解：（1）由题意得，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AB×CD=$\frac{1}{2}×6×8=24$，
$\frac{1}{2}$×AB×CD=$\frac{1}{2}$×AC×BC，
即$\frac{1}{2}$CD×10=$\frac{1}{2}$6×8，
解得CD=$\frac{24}{5}$；
（2）∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CEF=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠FAD+∠AFD=90°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠FAD，
∴∠CEF=∠AFD，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF．

点评 本题考查的是勾股定理的应用、直角三角形的性质，掌握直角三角形的面积公式、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．