Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12$\sqrt{2}$cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为P′，设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为4．

Answer 1

分析 连接PP′交CQ于D，根据菱形的对角线互相垂直平分可得PP′⊥CQ，CD=DQ，用t表示出CD，过点P作PO⊥AC于O，可得四边形CDPO是矩形，再判断出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠A=45°，从而得到△APO是等腰直角三角形，再用t表示出PO，然后根据矩形的对边相等列出方程求解即可．

解答 解：解：如图，连接PP′交CQ于D，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥CQ，CD=DQ，
∵点Q的速度是每秒1cm，
∴CD=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{1}{2}$（12$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）cm，
过点P作PO⊥AC于O，
则四边形CDPO是矩形，
∴CD=PO，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
∵点P的运动速度是每秒 2cm，
∴PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2t=$\sqrt{2}$tcm，
∴$\frac{1}{2}$（12$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）=$\sqrt{2}$t，
解得t=4，
故答案为4

点评 本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出矩形和等腰直角三角形是解题的关键．