题目内容
（1）问题背景：
如图1，点A，B在直线l同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．
作法如下：作点B关于直线L的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（2）实践应用：
如图2，等边三角形中，E是AB的中点，P为高AD上一点，AD=3，求BP+PE的最小值．
（3）拓展延伸：
如图3，∠AOB=30°，P是四边形OACB内一定点，Q、R分别是OA、OB上的动点，当△PQR周长的最小值为5时，求OP的长．
如图1，点A，B在直线l同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．
作法如下：作点B关于直线L的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（2）实践应用：
如图2，等边三角形中，E是AB的中点，P为高AD上一点，AD=3，求BP+PE的最小值．
（3）拓展延伸：
如图3，∠AOB=30°，P是四边形OACB内一定点，Q、R分别是OA、OB上的动点，当△PQR周长的最小值为5时，求OP的长．
考点：轴对称-最短路线问题
专题：
分析：（1）根据两点之间线段最短，即可证得线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（2）由（1）可知CE就是BP+PE的最小值；
（3）设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点R、Q在CD上时，△PQR周长的值最小，最小值为CD的长，根据CD的长即可求得OP的长．
（2）由（1）可知CE就是BP+PE的最小值；
（3）设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点R、Q在CD上时，△PQR周长的值最小，最小值为CD的长，根据CD的长即可求得OP的长．
解答：
解：（1）如图1，因为两点之间线段最短，所以线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（2）如图2，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴B、C关于AD对称，∠ABC=60°，
∴PB=PC，
∴EC就是BP+PE的最小值，
∵等边三角形中，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴CE=AD=3，
∴BP+PE的最小值为3；
（3）分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点Q、R，连接OC、OD．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PQ=CQ，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PR=DR，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD．
∴OP=CD，
∵△PQR周长的最小值=PQ+QR+PR=CQ+QR+RD=CD，
∴OP=△PQR周长的最小值=5．
解：（1）如图1，因为两点之间线段最短，所以线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．（2）如图2，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴B、C关于AD对称，∠ABC=60°，
∴PB=PC，
∴EC就是BP+PE的最小值，
∵等边三角形中，E是AB的中点，∴CE⊥AB，
∴CE=AD=3，
∴BP+PE的最小值为3；
（3）分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点Q、R，连接OC、OD．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PQ=CQ，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PR=DR，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD．
∴OP=CD，
∵△PQR周长的最小值=PQ+QR+PR=CQ+QR+RD=CD，
∴OP=△PQR周长的最小值=5．
点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．
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