Question

1．如图，分别以△ABC的三边为边，在BC的同侧向外作等边△ABP、等边△ACQ、等边△BCR，连接PA，AQ，QR，RP，那么四边形PRQA是平行四边形吗？证明你的结论．

Answer 1

分析 可先证明∠1=∠2，再根据等边三角形的性质可得PB=AB，BC=RB，利用SAS可判定△ABC≌△PBR，进而可得PR=AC，同理可证出AP=QR．进而可得四边形PRQA是平行四边形．

解答 解：四边形PRQA是平行四边形，
理由：∵△ABP，△BCR都是等边三角形，
∴∠PBA=∠RBC=60°，AB=PB，BC=RB，
∴∠1=∠2=60°-∠ABR，
在△ABC和△PRB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=AB}\\{∠1=∠2}\\{RB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△PBR（SAS）．
∴PR=AC．
∵△ACQ是等边三角形，
∴AC=AQ，
∴PR=AQ．
同理可得AP=QR．
∴四边形PRQA是平行四边形．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定，关键是掌握等边三角形三边相等，三个角都是60°，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．