Question

4．在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y=x+2，直线y=-x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上，点M在x轴上，若点N的坐标为（5，1），当MN+MP最小时，点P坐标是（1，3）．

Answer 1

分析 如图，作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=-x-2，过点N作直线y=-x-2的垂线垂足为E，交x轴于M，则点E坐标（1，-3），点E关于x轴的对称点P坐标（1，3），可以证明点P就是所求的点．

解答 解：如图，作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=-x-2，
过点N作直线y=-x-2的垂线垂足为E，交x轴于M，
则点E坐标（1，-3），点E关于x轴的对称点P坐标（1，3），
此时MN+MP最短，
理由：∵MN+MP=MN+ME=NE，
∴MN+MP最短（垂线段最短）．
故点P坐标为（1，3），
故答案为（1，3）．

点评 本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短等知识，解题的关键是作直线y=x+2关于x轴对称的直线y=-x-2，理由垂线段最短解决问题，属于作图题目中比较难的题目．