题目内容
在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=θ，△AEF为正三角形，E、F在菱形边上．（1）如图1，当θ=120°时，证明：不论E、F在BC、CD上如何移动，总有BE=CF．
（2）在（1）的条件下，当点E、F在BC、CD上移动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大（小）值．
（3）操作探索：当θ分别满足下列条件时，能否作出菱形的内接正三角形AEF（E、F分别在菱形边上）？请填写下表（不必说明理由）．
| 满足的条件 | 60°＜θ＜120° | θ=120° | 120°＜θ＜180° |
| 内接正△AEF个数 |
分析：（1）连接AC，由四边形ABCD是菱形与∠BAD=θ=120°，易证得△ABC是等边三角形，又由△AEF为正三角形，易证得△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）由S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，即可得四边形AECF的面积不变，由菱形的面积求解方法，即可求得这个定值，又由当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大，当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小，即可求得答案；
（3）由题意可得当60°＜θ＜120°时，可作内接正△AEF1个，当θ=120°，可作内接正△AEF无数个，当120°＜θ＜180°可作内接正△AEF3个．
（2）由S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，即可得四边形AECF的面积不变，由菱形的面积求解方法，即可求得这个定值，又由当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大，当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小，即可求得答案；
（3）由题意可得当60°＜θ＜120°时，可作内接正△AEF1个，当θ=120°，可作内接正△AEF无数个，当120°＜θ＜180°可作内接正△AEF3个．
解答：
解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BC∥AD，
∵∠BAD=θ=120°，
∴∠B=180°-∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵△AEF为正三角形，
∴AE=AF，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
∵△ABE≌△ACF，
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
∵AB=4，∠B=60°，
∴AC=4，BD=4
，
∴S菱形ABCD=
AC•BD=8
，
∴S四边形AECF=
S菱形ABCD=4
；
∵当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大，
∵当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小，
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AE=2
，
∴S△AEF=
×2
×3=3
，
∴△CEF的面积最大值为：S四边形AECF-S△AEF=4
-3
=
．
（3）填表如下：
解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BC∥AD，
∵∠BAD=θ=120°，
∴∠B=180°-∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵△AEF为正三角形，
∴AE=AF，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
∵△ABE≌△ACF，
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
∵AB=4，∠B=60°，
∴AC=4，BD=4
| 3 |
∴S菱形ABCD=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴S四边形AECF=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∵当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大，
∵当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小，
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AE=2
| 3 |
∴S△AEF=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴△CEF的面积最大值为：S四边形AECF-S△AEF=4
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（3）填表如下：
| 满足的条件 | 60°＜θ＜120° | θ=120° | 120°＜θ＜180° |
| 内接正△AEF个数 | 1 | 无数个 | 3 |
点评：此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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