Question

13．已知关于x的一元二次方程（a+2b）x²-2$\sqrt{2ab}$x$+\frac{1}{4}$（a+2b）=0有实数根．
（1）若a=2，b=1，求方程的根．
（2）若m=a²+b²+5a，若b＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=2、b=1代入原方程中，利用直接开方法解一元二次方程即可得出结论；
（2）由b＜0、2ab≥0找出a的取值范围，再根据方程有实数根，利用根的判别式△≥0找出a、b之间的关系，由此即可得出m关于b的函数关系式，结合b的取值范围即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）当a=2、b=1时，原方程为4x²-4x+1=（2x-1）²=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$．
答：若a=2，b=1，方程的根为$\frac{1}{2}$．
（2）∵2ab≥0，b＜0，
∴a≤0．
∵方程（a+2b）x²-2$\sqrt{2ab}$x$+\frac{1}{4}$（a+2b）=0有实数根，
∴△=$（-2\sqrt{2ab}）^{2}$-4×（a+2b）×$\frac{1}{4}$（a+2b）=-（a-2b）²≥0，
∴a=2b，
∴m=a²+b²+5a=5b²+10b=5（b+1）²-5，
∵b＜0，
∴m≥-5．

点评 本题考查了解一元二次方程的根的判别式的应用，能正确理解根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b²-4ac＜0时，方程没有实数根．