Question

2．已知函数y=x²-mx+m-2．
（1）求证：无论m取什么值，它的图象与x轴总有两个交点；
（2）当m取何值时，这两个交点间的距离最小？并求出最小距离．

Answer 1

分析 （1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）由（1）知图象与x轴的两个交点，用m表示出|x₁-x₂|，再求出最小值即可．

解答 解：（1）令y=0，得：x²-mx+m-2=0，
则△=m²-4（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
无论m取什么值，它的图象与x轴总有两个交点；
（2）设二次函数图象与x轴交点的横坐标为x₁，x₂；
根据（1）可知，x₁+x₂=m，x₁x₂=m-2，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（m-2）^{2}+4}$，
要使抛物线的图象与x轴的两个交点的距离最小，即|当m=2时，|x₁-x₂|最小，此时最小值为2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，求出抛物线与x轴的两交点坐标是解决问题的关键．