Question

6．在正方形ABCD的外侧作直线AP，过点B作BO⊥AP，垂足为O．
（1）在图中画出△ABO关于直线AP对称的△AEO；
（2）在（1）的条件下，连结DE．
①当∠PAB=20°时，求∠ADE的度数；
②当∠PAB=α，且0°＜α＜90°（α≠45°）时，直接写出△ADE中∠ADE的度数（结果可用含α的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据题意直接画出图形得出即可；
（2）①利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；
②由轴对称的性质可得：∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，分两种情况分别用等腰三角形的性质和平角以及周角的意义计算即可．

解答 解：（1）如图1所示：

（2）①由对称得∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADE=$\frac{180°-130°}{2}$=25°；
②Ⅰ、当0°＜α＜45°时，如图1，由对称得∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，
∴∠BAE=2∠PAB=2α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=∠BAD+2∠BAP=90°+2α，
∵AE=AB，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-∠DAE）=$\frac{1}{2}$[180°-（90°+2α）]=45°-α；
Ⅱ、当45°＜α＜90°时，如图2，

由对称得∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，
∴∠BAE=2∠PAB=2α
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=360°-∠BAD-2∠BAP=360°-90°-2α=270°-2α，
∵AE=AB，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-∠DAE）=$\frac{1}{2}$[180°-（270°-2α）]=α-45°．
∴当0°＜α＜45°时，∠ADE=45°-α，当45°＜α＜90°时，∠ADE=α-45°．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及平角，周角的意义和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．