Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AB长为一边作△ABD，∠ADB=90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．
（1）求证：DE=CE
（2）当∠CAB+∠DBA=60°，时，△DEC是等边三角形，并说明理由
（3）当∠CAB+∠DBA=45°时，若CD=5，取CD中点F，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）证明A、B、C、D四点共圆，E是圆心，由圆周角定理得出∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，得出∠BEC+∠AED=2×60°=120°，求出∠DEC=60°即可；
（3）同（2）证出∠DEC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=CE；
（2）解：当∠CAB+∠DBA=60°时，△DEC是等边三角形，理由如下：
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，E是圆心，
∴∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA=60°，
∴∠BEC+∠AED=2×60°=120°，
∴∠DEC=60°，
∵DE=CE，
∴△DEC是等边三角形；
故答案为：60°；
 （3）解：同（2）得：∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA=45°，
∴∠BEC+∠AED=2×45°=90°，
∴∠DEC=90°，
∵F是CD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD=2.5．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题有一定难度．