Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，将直线绕着点顺时针旋转的度数后与该抛物线交于两点（点在点的左侧），点是该抛物线上一点

（1）若，求直线的函数表达式

（2）若点将线段分成的两部分，求点的坐标

（3）如图②，在（1）的条件下，若点在轴左侧，过点作直线轴，点是直线上一点，且位于轴左侧，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的坐标

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），，，

【解析】

（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；

（2）分和两种情况根据点A、点B在直线y=x+2上列式求解即可；

（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质列式求解即可.

（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．

∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M（-2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（-2，0），P（0，2）两点坐标代入，得

，
解得，．
故直线AB的解析式为y=x+2；

（2）①

设（a＞0）

∵点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，

∴，

∴，

∴

解得，，（舍去）

②

设（a＞0）

∵点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，

∴，

∴，

∴

解得：，（舍去）

综上或

（3），

，

①

此时，关于轴对称，为等腰直角三角形

②

此时满足，左侧还有也满足

，，，四点共圆，易得圆心为中点

设，

∵

且不与重合

，

为正三角形，

过作，则，

∵

∴

∴

解得，

∴

∵

∴

∴

解得，

∴

综上所述，满足条件的点M的坐标为：，，，.