题目内容
【题目】如图，已知抛物线
经过坐标原点，与
轴的另一个交点为
，且顶点
坐标为
.
（1）求抛物线解析式.
（2）将抛物线向右平移
个单位，所得抛物线与轴交于
两点，与原抛物线交于点
，设
的面积为
，求关于
的函数关系式.
（3）如图②，以点为圈心，以线段
为半径画圆，交抛物线的对称轴于点
，连结
，若将抛物线向右平移个单位后，点的对应点为
，点的对应点为
，且满足四边形
为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线
交于点
问：在轴上是否存在一点
，使得以
，为顶点的三角形与
相似？若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）二次函数解析式为
；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）根据题意设出顶点式，根据抛物线经过原点可得抛物线的解析式；
（2）根据将抛物线向右平移m个单位得到平移后的解析式，将两个解析式联立成一个方程组，解此方程组得P点的纵坐标，即可得
的高，而底边CD的长根据原抛物线可知，然后分情况讨论，三角形面积可求；
（3）画出图形，根据圆和菱形的性质得出△BAE是直角三角形，若△BAE∽△A′EF，则△A′EF也是直角三角形，故可求A′F，则F坐标可求．
（1）抛物线
的顶点
坐标为
，
设二次函数解析式为
抛物线经过坐标原点，
把
代入
可得：
抛物线解析式为；
（2）现将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为：
，
原抛物线与平移后的抛物线交于P点，则有
，
解得：
，
即P点坐标为：（
，
），
由题意知A点坐标为
，即CD=2，
当
时，P点在x轴上方，
，
当
时，P点在x轴下方，
，
综上所述，
关于
的函数关系式为：
；
（3）如图，四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2，
B点的纵坐标为：
，
那么tan∠BA′A＝
，
故∠BA′A＝∠A′BA＝30°，
∵A，A’关于平移后的对称轴对称，且点E在对称轴上，
∴∠BA′A＝∠EAA′＝30°，A′E＝AE＝
，
∴∠BEA=∠BA′A+∠EAA′=60°，
∴∠BAE＝90°，
当△BAE∽△AFE时，此时F点就是平移后的抛物线对称轴与x轴的交点，即F（3,0），
当△BAE∽△AEF时，则
，即
，
∴EF=
，
∴
，
∴OF=
，即F（
,0），
综上所述，以
，
为顶点的三角形与
相似时，F点坐标为：（3,0）或（,0）.
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【题目】全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散布；E：不运动．
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
运动形式 | A | B | C | D | E |
人数 | 12 | 30 | m | 54 | 9 |
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）接受问卷调查的共有 人，图表中的m= ，n= ；
（2）统计图中，A类所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是 ，不运动的市民所占的百分比是 ；
（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有1500人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？
