Question

如图，M是以AB为直径的⊙O内的一点，AM，BM的延长线分别与圆O交于点C，D，过点M作MN⊥AB于点N，过点C作⊙O的切线与MN交于点E，连接DE，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BD=8，MN=MC，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连接AD，BC，OC，OE，CN，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到AC垂直于BC，再由EN垂直于BN，得到B，C，M，N四点共圆，利用圆周角定理得到一对角相等，同理O，E，C，N四点共圆，再利用圆周角定理得到一对角相等，确定出∠DOE=∠COE，再由OD=OC，OE=OE，利用SAS得到三角形DOE与三角形COE全等，利用全等三角形对应角相等得到DE垂直于OD，即可确定出DE为圆O的切线；
（2）由MN=MC，BM=BM，利用HL得到直角三角形BMN与直角三角形BMC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ABD=∠DBC，而∠DOE=∠DBC，得到∠ABD=∠DOE，在直角三角形ABD中利用锐角三角函数定义求出tan∠ABD的值，即为tan∠DOE的值，在直角三角形DOE中，利用锐角三角函数定义即可求出DE的长．

解答：（1）证明：连接AD，BC，OC，OE，CN，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵MN⊥NB，
∴B，C，M，N四点共圆，
∴∠CNM=∠DBC，
∵EN⊥AN，OC⊥CE，
∴O，E，C，N四点共圆，
∴∠COE=∠CNM，
∴∠COE=∠DBC，
∵∠DOC=2∠DBC，
∴∠DOC=2∠EOC，
∴∠DOE=∠COE，
在△DOE和△COE中，

OD=OC ∠DOE=∠COE OE=OE

，
∴△DOE≌△COE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=6，
在Rt△BMN和Rt△BMC中，

MC=MN BM=BM

，
∴Rt△BMN≌Rt△BMC（HL），
∴∠MBN=∠MBC，即∠ABD=∠CBD，
∴两个圆周角所对的圆心角∠AOD=∠COD，
∴∠ABD=∠DOE，
∴tan∠DOE=tan∠ABD=

6

8

=

DE

OD

，
则DE=

3

4

×5=

15

4

．

点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，以及四点共圆的条件，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．