Question

【题目】已知：在中，作对角线的垂直平分线，垂足为点，分别交，于点，，连接，．

（1）如图1，求证：四边形是菱形；

（2）如图2，当，且时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段长度都等于长度的倍．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），，，

【解析】

（1）证明，得到OE=OF，再结合OB=OD得出结论；

（2）证明Rt△ABE≌Rt△OBE，AB=OB，∠ABE=∠OBE=∠OBF，从而推出∠OBE=30°，再根据直角三角形的性质以及矩形和菱形的性质得到OB=OE=OD=AB=CD即可.

解：（1）证明：如图1，∵四边形是平行四边形，

∴

∴，

在和中，

，

∴（ASA），

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴为菱形；

（2）如图2，，，，，

∵AE=OF，四边形BFDE为菱形，

∴OE=OF=AE，∠EOB=90°，

在Rt△ABE和Rt△OBE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△OBE（HL），

∴AB=OB，∠ABE=∠OBE=∠OBF，

∵∠ABC=90°，

∴∠OBE=30°，

∴2OE=BE，

∴OB=OE=OD=AB=CD，

故答案为：OB，OD，AB，CD.