Question

【题目】如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交与点．

(1)求证：是的切线；

(2)若平分，求证：；

(3)在(2)的条件下，延长，交于点，若，，求的长和的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）已知，，得到根据是的直径，得到，所以，即可证明是的切线．

（2）利用同弧所对的圆周角相等和角平分线的定义可得到∠DEA=∠DBE，通过证得△DEF∽△DBE即可求解；

（3）根据题意画出图形，连接DA、DO，不难得到OD∥BE，进而有，由PA=AO可得到，结合ED的长即可得到PD的长；由圆内接四边形的对角互补可得到∠ABE+∠ADE=180°，结合平角和平行线的性质可得到∠PDA=∠AOD，进一步可得到△PDA∽△POD，结合相似三角形的性质即可得到OA的长．

（1）∵，

∴

∵是的直径

∴

∴

∴

即

又∵是的直径

∴是的切线

（2）∵∠DEA和∠ABD都是所对的圆周角，

∴∠DEA=∠ABD

∵BD平分∠ABE

∴∠ABD=∠DBE

∴∠DEA=∠DBE

∵∠EDB=∠BDE，∠DEA=∠DBE，

∴△DEF∽△DBE，

∴

∴

（3）根据题意画出图形，连接DA、DO

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD

∵∠EBD=∠OBD

∴∠EBD=∠ODB

∴OD∥BE

∴

∵PA=AO

∴PA=AO=OB，

∴

∴

∴

∵DE=2，

∴PD=4

∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，

∴∠PDA=∠ABE

∵OD∥BE

∴∠AOD=∠ABE，

∴∠PDA=∠AOD

∵∠P=∠P，∠PDA=∠AOD

∴△PDA∽△POD

∴

设OA=x，则PA=x，PO=2x

∵PD=4，，PA=x，PO=2x

∴

∴x=

∴OA=

故答案为：