Question

20．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，且$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，连接BD，∠CBD=∠CAB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠AED=$\frac{1}{2}$，AE=3$\sqrt{2}$，求BC的长及图中阴影的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可；
（2）首先证明∠C=30°，∠BOD=120°，求出BD、CD、BC，根据S_阴=S_△BDC-（S_扇形-S_△OBD）计算即可；

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠]BAD=∠DBC，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：连接EB，OD．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EB}$，
∴AE=EB=3$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AE=6，
∵∠AED=∠ABD，
∴sin∠ABD=sin∠AED=$\frac{1}{2}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=3，BD=3$\sqrt{3}$，∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°，∠C=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$BD=9，BC=2BD=6$\sqrt{3}$，
∴S_阴=S_△BDC-（S_扇形-S_△OBD）
=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{3}$•9-（$\frac{120•π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{3}$•$\frac{3}{2}$）
=$\frac{45\sqrt{3}}{4}$-3π．

点评 本题考查切线的判定和性质、解直角三角形、锐角三角函数、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．