Question

8．如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边BC上，且BE=2CE．将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连结DG，BF．下列结论：①△DAG≌△DFG；②DG∥BF；③EG=10；④S_△BEF=9.6．其中所有正确结论的序号是①②③④（填序号）

Answer 1

分析 根据已知条件得到CE=4，EB=8，根据折叠的性质得到DF=CD=12，EF=EC=4，∠DFE=∠C=90°，∠FDE=∠CDE，根据全等三角形的判定定理得到Rt△DAG≌Rt△DFG（HL），故①正确；根据全等三角形的性质得到GA=GF，∠ADG=∠FDG，设AG=x，则GF=x，BG=BA-AG=12-x，根据勾股定理列方程得到AG=6，BG=12-6=6，根据勾股定理得到EG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{E}^{2}}$=10，故③正确；根据等腰三角形的性质得到∠GFB=∠GBF，根据全等三角形的性质得到∠AGD=∠DGF，推出∠AGD=∠GBF，根据平行线的判定定理得到CF∥AG，故②正确；过F作FH⊥BC与H，根据相似三角形的性质得到FH=$\frac{12}{5}$，于是得到S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•FH=$\frac{1}{2}×$8×$\frac{12}{5}$=9.6，故④正确．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为12，BE=2CE，
∴CE=4，EB=8，
∵将△DCE沿DE对折至△DFE，
∴DF=CD=12，EF=EC=4，∠DFE=∠C=90°，∠FDE=∠CDE，
在Rt△DAG和Rt△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAG≌Rt△DFG（HL），故①正确；
∴GA=GF，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDE+∠FDG=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
设AG=x，则GF=x，BG=BA-AG=12-x，
在Rt△BGE中，GE=x+4，EB=8，BG=12-x，
∵BG²+BE²=GE²，
∴（12-x）²+8²=（x+4）²，解得x=6，
∴AG=6，BG=12-6=6，
∴EG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{E}^{2}}$=10，故③正确；
∵GF=GB，
∴∠GFB=∠GBF，
又∵Rt△DAG≌Rt△DFG，
∴∠AGD=∠DGF，
而∠AGF=∠GFB+∠GBF，
∴∠DGA+∠DGF=∠GFB+∠GBF，
∴∠AGD=∠GBF，
∴CF∥AG，故②正确；
过F作FH⊥BC与H，
∵BA⊥DC，
∴FH∥GB，
∴△EFH∽△EGB，
∴$\frac{FH}{BG}$=$\frac{EF}{EG}$，
∵EF=DE=4，EG=10，
∴$\frac{FH}{6}$=$\frac{4}{10}$，
∴FH=$\frac{12}{5}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•FH=$\frac{1}{2}×$8×$\frac{12}{5}$=9.6，故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．