Question

3．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长； 
（2）求∠BCD的度数．

Answer 1

分析 （1）由在菱形ABCD中，∠1=∠2，可证得CM=DM，又由ME⊥CD，即可得E是CD的中点，继而求得答案；
（2）由在菱形ABCD中，F为边BC的中点，E是CD的中点，则可证得△FCM≌△ECM（SAS），则可得DF⊥BC，继而证得BD=CD=AB，继而证得△BCD是等边三角形，则可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴CM=DM，
∵ME⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴BC=CD=2；

（2）连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，∠ACB=∠ACD，
∵F为边BC的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CB，
∵CE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CE=CF，
在△MCF和△NCE，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠FCM=∠ECM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△FCM≌△ECM（SAS），
∴∠CFM=∠CEM=90°，
∴DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴BC=CD=BC，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．