Question

13．已知C点在直线MN上，∠ACB=90°，AC=BC，AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别是M、N．求证：MN=AM-BN．

Answer 1

分析 利用同角的余角相等求出∠CAM=∠BCN，再利用“角角边”证明△ACM和△CBN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CN，CM=BN，再根据MN=CN-CM等量代换即可得证．

解答 证明：∵AM⊥MN，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠CAM=∠BCN，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
在△ACM和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠BCN}\\{∠AMC=∠CNB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∵MN=CN-CM，
∴MN=AM-BN．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．