Question

已知：二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=

 

．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+k，二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），列出二元一次方程组，用k表示出a和b，再根据△ABD是直角三角形，求出k的值；

解答：解：根据题意设二次函数的解析式为y=ax²+bx+k，二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），
则

a+b+k=0 ak2+bk+k=0

，
解得a=1，b=-k-1；
二次函数的解析式为y=x²-（k+1）x+k，
当k＞1时，函数的图象如图1，
对称轴DE为x=

k+1

2

，顶点坐标为（

k+1

2

，

-(k-1)2

4

），
若△ABD是直角三角形，AD=DB，
则AE=DE，

k+1

2

-1=

(k-1)2

4

，
解得k=3，
当k＜0，函数的图象如图2，
同理求出k=-1；
所以D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=-1或3；
故答案为-1或3．

点评：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，关键是画出图象，结合图象进行解答，此题的难度较大，理解起来有一定的难度．