Question

设f（x）是关于x的多项式，f（x）除以2（x+1），余式是3；2f（x）除以3（x-2），余式是-4，那么，3f（x）除以4（x²-x-2），余式是

 

．

Answer 1

考点：余式定理

专题：

分析：首先利用余式定理求出f（-1）=3以及f（2）=-2，进而设3f（x）除以4（x²-x-2）的余式为px+q，求出f（x）=

4

3

C（x）（x-2）（x+1）+

1

3

（px+q），即可求出p，q的值即可．

解答：解：∵f（x）除以2（x+1），余式是3；
∴f（x）=2A（x）（x+1）+3，
∴f（-1）=3；
∵2f（x）除以3（x-2），余式是-4，
∴2f（x）=B（x）（x-2）-4，
∴2f（2）=-4，
∴f（2）=-2；
设3f（x）除以4（x²-x-2）的余式为px+q，
3f（x）=C（x）×4×（x²-x-2）+（px+q） 
即3 f（x）=4C（x）（x-2）（x+1）+（px+q），
∴f（x）=

4

3

C（x）（x-2）（x+1）+

1

3

（px+q），
∵f（-1）=3，
∴-

1

3

p+

1

3

q=3…①
∵f（2）=-2，
∴

2

3

p+

1

3

q=-2…②
由①②解得：
p=-5，q=4．
故3f（x）除以4（x²-x-2），余式是-5x+4．
故答案为：-5x+4．

点评：此题主要考查了余式定理，利用已知得出f（-1）=3以及f（2）=-2是解题关键．