Question

【题目】如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连结，以、为邻边作.设与重叠部分的面积为，运动时间为秒．

（1）用含的代数式表示的长为________；

（2）是否存在某一时刻，使四边形为矩形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）时，求与的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）与之间的函数关系式为．

【解析】

（1）根据三角函数即可计算出PN的长度；

（2）当口POMN为矩形时，由PN⊥AB可得PQ//AB，再根据平行线分线段成比例定理可得，最后计算即可；

（3）分在三角形内部时和有部分在外边时，分别由三角函数可计算各图形中的高，最后运用三角形的面积公式解答即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，C=90°，AC=20，BC=15.

∴AB=

∴sin∠CAB=

由题可知AP=5t.

则PN=AP·sin∠CAB=5t×=3t.

故答案为：；

（2）当为矩形时，，

∵，

∴，

∴，

由题意可知，，

∴，

解得；，

即当为矩形时.

（3）

①如图所示.在三角形内部时.延长交于点，

由（1）题可知：，，

，，.

∴，

，

，

∵在三角形内部时.有，

∴，

∴.

∴.

∴当时，与重叠部分图形为，与之间的函数关系

式为.

②如图所示.当时，与重叠部分图形为梯形，

即：，

解得：，

与重叠部分图形为梯形的面积

当，.

综上，