Question

10．如图，已知∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上的一点，分别过C点，A点作CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．
（1）若EC=5cm，EF=2cm，求AF的长；
（2）请探讨AF、EF、EC之间的数量关系（直接写出结果）；
（3）过B点在△ABC外作一条直线，分别过A、C两点作直线的垂线段，垂足分别是F、E，请画出图形，并探讨AF、EF、EC之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可证得△ABF≌△BCE，得到BF=EC，AF=BE，再结合条件可求出BE=3，可得结论；
（2）EF=CE-AF，由△AEB≌△BFC，则AE=BF，CF=BE．结合图形易证得结论；
（3）可证△AEB≌△BFC，则AE=BF，CF=BE．结合图形易证得结论．

解答 解：（1）∵AF⊥BF，CE⊥BF，
∴∠AFB=∠CEB=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠ECB，
∴∠ABD=∠ECB，
在△ABF中△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ECB}\\{∠AFB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE，
∴BF=CE=5cm，AF=BE，
∵EF=2cm，
∴BE=BF-EF=5cm-2cm=3cm，
∴AF=3cm；
（2）∵△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，BF=CE，
∵BE+EF=BF，
∴EF=CE-AF；
（3）如图，过B点在△ABC外作一条直线，分别过A、C两点作直线的垂线段，垂足分别是F、E，
则EF=CE+AF，
∵AF⊥BF，CE⊥BF，
∴∠AFB=∠CEB=90°，
∴∠ABF+∠EBC=∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠ABF=∠ECB，
在△ABF中△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ECB}\\{∠AFB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠BEC}\\{∠ABF=∠ECB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，BF=CE，
∵EF=BF+BE，
∴EF=CE+AF．

点评 本题主要考查三角形全等及等腰三角形的性质，证明△ABF≌△BCE是解题的关键．