Question

12．边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，已知点A的横坐标为1，作直线OC与边AD交于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）过O，D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为α，试求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD的边长为2，得到AB=CD=2，由点A的横坐标为1，得到OA=1，于是得到结论；
（2）过D作DH⊥OC于H，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{BC}=\frac{OA}{OB}$，求出AE=$\frac{2}{3}$，得到DE=$\frac{4}{3}$，根据勾股定理得到CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，根据三角形的面积得到DH=$\frac{CD•DE}{CE}$=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，根据勾股定理得到OD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OH=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{13}}{13}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=CD=2，
∵点A的横坐标为1，
∴OA=1，
∴OB=3，
∴C（3，2）；

（2）过D作DH⊥OC于H，
∵AD∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{OA}{OB}$，即$\frac{AE}{2}=\frac{1}{3}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∴DH=$\frac{CD•DE}{CE}$=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
在Rt△ADO中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OH=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{13}}{13}$，
∴tanα=$\frac{DH}{OH}=\frac{\frac{4\sqrt{13}}{13}}{\frac{7\sqrt{13}}{13}}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．