Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，边AC落在直线CD上，得到△A₁B₁C₁，A₁B₁交边BC于F．求证：CF+A₁D=AC．

Answer 1

分析 根据旋转性质可得AC=A₁C、BC=B₁C、∠B=∠B₁、∠BCB₁=∠ACA₁，再证△BCD≌△B₁CF可得CD=CF，从而根据AC=A₁C，即AC=CD+A₁D即可得．

解答 证明：由旋转可得AC=A₁C，BC=B₁C，∠B=∠B₁，∠BCB₁=∠ACA₁，
∵∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠BCB₁=∠ACA₁=45°，
在△BCD和△B₁CF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠{B}_{1}}\\{BC={B}_{1}C}\\{∠BCD=∠{B}_{1}CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△B₁CF（ASA），
∴CD=CF，
∵AC=A₁C，即AC=CD+A₁D，
∴CF+A₁D=AC．

点评 本题主要考查旋转的性质和全等三角形的判定和性质，证明两三角形全等得到CD=CF是解题的关键．