Question

2．如图，已知抛物线y=ax²-4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求出二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离；
（4）在（3）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△QMA的周长最小．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标；
（3）由点P（m，m）在抛物线上，确定出M的坐标，再利用对称性确定出点Q坐标即可；
（4）先判断出Q只能是（-2，6），利用平面坐标系中两点间的距离公式求出AP，AQ即可得出结论．

解答 解：（1）由图象知，点A（-1，-1），B（3，-9），
∵抛物线y=ax²-4x+c的图象经过点A和点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=-1}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式y=x²-4x-6；
（2）由（1）知，二次函数的表达式y=x²-4x-6=（x-2）²-10；
∴抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-10）；
（3）∵P（m，m）在抛物线上，
∴m=m²-4m-6，
∴m₁=-1（舍），m₂=6，
∴P（6，6），
∵P，Q两点关于抛物线的对称轴对称，
∴Q（-2，6）；
∴Q到x轴的距离为6；
（4）由（3）知，（-2，6），
∵A（-1，-1），
∵P（6，6），
∴直线PA的解析式为y=x，
∵点M在抛物线对称轴x=2上，
∴M（2，2），
∴AP=7$\sqrt{2}$，AQ=5$\sqrt{2}$
△QMA的周长最小=AM+QM+AQ=AP+AQ=7$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，抛物线的对称性，极值的确定，解本题的关键是确定出抛物线的解析式，是一道比较简单题．