Question

17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8cm，BC=10cm．点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作∠AED=∠B，交线段AB于点D．
（1）求证：△BDE∽△CEA；
（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系；
（3）E点在运动的过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据∠BDE=∠CEA，∠B=∠C证得结论；
（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例列出比例式$\frac{BD}{EC}$，则把相关线段的长度代入即可列出y与x的关系式．注意自变量x的取值范围要注明；
（3）根据三角形外角性质和三角形的边角关系知AE≠AD．所以当△ADE是等腰三角形时，分两种情况：①当AE=DE时，△BDE≌△CEA；②当DA=DE时，△BAE∽△BCA．所以根据全等三角形和相似三角形的性质来求线段BE的长度．

解答 （1）证明：∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B，∠CEA=180°-∠DEB-∠AED，
又∠B=∠AED，
∴∠BDE=∠CEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEA；

（2）解：∵△BDE∽△CEA，
∴$\frac{BD}{EC}$=$\frac{BE}{AC}$，
即 $\frac{8-y}{10-x}$=$\frac{x}{8}$，
∴y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x+8（0＜x＜8），


（3）解：∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∵∠B=∠AED，
∴∠ADE＞∠AED，
∴AE≠AD．
①当AE=DE时，
得△BDE≌△CEA，
∴BE=AC=8cm；
②当DA=DE时，∠BAE=∠AED=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCA，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{BE}{BA}$，
即：$\frac{8}{10}$=$\frac{BE}{8}$，
∴BE=$\frac{32}{5}$cm，
∴△ADE为等腰三角形时，BE=6cm或 $\frac{32}{5}$cm

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．