Question

11．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．

感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为2．

Answer 1

分析 感知：先利用矩形性质得：∠D=∠C=90°，再利用同角的余角相等得：∠DAE=∠FEC，根据已知边的长度计算出AD=CE=3，则由ASA证得：△ADE≌△ECF；
探究：利用两角相等证明△PDE∽△ECF；
应用：作辅助线，构建如图②一样的相似三角形，利用探究得：△PDE∽△EGF，则$\frac{DE}{FG}=\frac{PE}{EF}$，所以$\frac{PE}{EF}=\frac{1}{3}$，
再利用△PEF的面积是3，列式可得：PE•EF=6，两式结合可求得PE的长，利用勾股定理求PD，从而得出AP的长．

解答 证明：感知：如图①，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠DEA+∠FEC=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵DE=1，CD=4，
∴CE=3，
∵AD=3，
∴AD=CE，
∴△ADE≌△ECF（ASA）；
探究：如图②，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∵EF⊥PE，
∴∠PEF=90°，
∴∠DEP+∠FEC=90°，
∴∠DPE=∠FEC，
∴△PDE∽△ECF；
应用：如图③，过F作FG⊥DC于G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴FG=BC=3，
∵PE⊥EF，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$PE•EF=3，
∴PE•EF=6，
同理得：△PDE∽△EGF，
∴$\frac{DE}{FG}=\frac{PE}{EF}$，
∴$\frac{PE}{EF}=\frac{1}{3}$，
∴EF=3PE，
∴3PE²=6，
∴PE=$±\sqrt{2}$，
∵PE＞0，
∴PE=$\sqrt{2}$，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD=1，
∴AP=AD-PD=3-1=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了矩形、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定；难度适中，运用类比的方法解决问题，从感知、探究和应用，逐渐引导学生利用全等或相似解决问题，如果图形中没有全等或相似的三角形，要作辅助线构建，此类题培养了学生的思维能力．