Question

在正方形ABCD中，M为AB的中点，直线DM交AC于N，交BC的延长线于P

（1）求证：PM：MN：ND=3：1：2；
（2）当M为AB三等分点（AM═

1

3

AB）时，其它条件不变，PM：MN：ND的值又有怎样的关系？请你写出猜想，并加以证明；
（3）当M为AB的n等分点时，其它条件不变，PM：MN：ND又有怎样的关系？直接写出你的猜想，不必证明．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出AB=CD，AB∥CD，得出△ANM～△CND，△PMB～△DMA根据相似三角形性质得出MN：ND=AM：DC=1：2，PM：MD=BM：AM=1：1，即可得出答案；
（2）证明过程和（1）类似；
（3）证明过程和（1）类似．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=

1

2

AB=

1

2

CD，
∵AB∥CD，
∴△ANM～△CND，△PMB～△DMA
∴MN：ND=AM：DC=1：2，PM：MD=BM：AM=1：1
∴PM：MN：ND=3：1：2；

（2）PM：MN：ND=8：1：3，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵M为AB的三等份点，
∴AM=

1

3

AB=

1

3

CD，
∵AB∥CD，
∴△ANM～△CND，△PMB～△DMA，
∴MN：ND=AM：DC=1：3，PM：MD=BM：AM=2：1，
设MN=a，ND=3a，MD=4a，PM=8a，
∴PM：MN：ND=8a：a：3a；
PM：MN：ND=8：1：3；

（3）PM：MN：ND=（n²-1）：1：n．

点评：本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，证明过程类似．