Question

如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=30°，AC=4，
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆内接四边的性质对角互补可直接得出答案；
（2）根据AC是⊙O的直径，得出∠ABC=∠D=90°，利用HL得出Rt△ABC≌Rt△ADC，从而得出∠BAC=∠DAC=

1

2

∠BAD=15°，连接OB，得出∠ABO=∠BAC，∠BOC=∠ABO+∠BAC根据AC的长，求出OB的长，过点B作BE⊥AC于E，求出BE，根据三角形的面积公式得出S_△ABC，从而求出S_△ADC=S_△ABC，最后根据四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=180°-30°=150°；

（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，

AC=AC AB=AD

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC=

1

2

∠BAD=

1

2

×30°=15°，
连接OB，则OA=OB，
∴∠ABO=∠BAC=15°，
∴∠BOC=∠ABO+∠BAC=15°+15°=30°，
∵AC=4，
∴OB=OA=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
过点B作BE⊥AC于E，
则BE=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

×4×1=2，
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴S_△ADC=S_△ABC=2，
四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD=2+2=4．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是圆内接四边的性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的面积公式等，关键是根据题意做出辅助线构造出直角三角形．