Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC．以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．过E点作⊙O的切线，交AB于点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连结OE．由AC=AC，OE=OC可证明∠OEC=∠ABC，从而可证得OE∥AB，由切线的性质可知∠OEF=90°，然后由平行线的性质可证明∠AFE=90°；
（2）连结DE、AE．先由直径所对的圆周角等于90°可证明AE⊥BC，由等腰三角三线合一的性质可求得BC的长，然后依据圆内接四边形的性质证明∠BED=∠BAC，于是可得得到△BED∽△BAC，接下来由相似三角形对应边成比例可求得AB的长，从而得到AC的长．

解答 解：（1）证明：如图1所示：连结OE．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵OE=OC，
∴∠OEC=∠ACB，
∴∠OEC=∠ABC．
∴OE∥AB．
∵EF与⊙O 相切，
∴OE⊥EF．
∴∠OEF=90°．
∵OE∥AB，
∴∠AFE=90°．
∴OE⊥AB．
（2）如图2所示：连结DE、AE．

∵四边形ACED为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC+∠BAC=180°．
又∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠BED=∠BAC．
又∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BAC．
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°．
∵在△ABC中，AB=AC，
∴BE=CE=3，
∴BC=6．
∴$\frac{3}{AB}=\frac{2}{6}$，
∴AB=9．即AC=AB=9．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△BED∽△BAC是解题的关键．