在平面直角坐标系xOy中.直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴的负半轴交于点A.与y轴的正半轴交于点B．点C在x轴的正半轴上.∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC．(1)求直线BC的解析式,(2)点P从点C出发.以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度沿线段CB向点B运动.过点P作PQ⊥AB交AB于点Q.运动时间为t秒.PQ长度为d.求d与t的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B．点C在x轴的正半轴上，∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC．

（1）求直线BC的解析式；
（2）点P从点C出发，以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度沿线段CB向点B运动，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，运动时间为t秒，PQ长度为d，求d与t的函数关系（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接QC，当∠PQC=$\frac{1}{2}$∠ABO时，求此时t的值．

分析（1）如图1中，作AE平分∠BAC交BC于E，由△EAB≌△EAC，推出AB=AC，求出点C坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）由△AEB∽△PQB，得到$\frac{PQ}{AE}$=$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BE}$，求出AE、BE即可解决问题．
（3）如图3中，作BM平分∠ABO，MN⊥AB于N，CE⊥QP于E．首先证明△BMN≌△BMO，推出BN=BO=8，AN=2，设MN=MO=x，在Rt△AMN中，∵AN²+MN²=AM²，
列出方程求出x，可得tan∠MBO=tan$\frac{1}{2}$∠ABO=tan∠CQE=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{1}{3}$，再由CE∥BQ，得$\frac{CE}{BQ}$=$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{PC}{PB}$，求出CE、PE即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，作AE平分∠BAC交BC于E，

∵∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-∠BAE，
∴∠AEB=90°，
在△AEB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AEC=90°}\\{AE=AE}\\{∠EAB=∠EAC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EAC，
∴AB=AC，
∵直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，
∴B（0，8），A（6，0），
∴OA=6，OB=8，AB=AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∴OC=4，C（4，0），
设直线BC 解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-2x+8．

（2）如图2中，

∵PQ⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AEB=∠PQB=90°，
∵∠ABE=∠PBQ，
∴△AEB∽△PQB，
∴$\frac{PQ}{AE}$=$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BE}$，
∵BC=$\sqrt{O{C}^{2}+B{O}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CE=BE=2$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PQ}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{10}$=$\frac{BQ}{2\sqrt{5}}$，
∴BQ=4-t，PQ=8-2t．
∴d=8-2t．

（3）如图3中，作BM平分∠ABO，MN⊥AB于N，CE⊥QP于E．

∵∠MBN=∠MBO，∠MNB=∠MOB，BM=BM，
∴△BMN≌△BMO，
∴BN=BO=8，AN=2，设MN=MO=x，
在Rt△AMN中，∵AN²+MN²=AM²，
∴2²+x²=（6-x）²，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴tan∠MBO=tan$\frac{1}{2}$∠ABO=tan∠CQE=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∵CE⊥EQ，QE⊥AB，
∴CE∥BQ，
∴$\frac{CE}{BQ}$=$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴$\frac{CE}{4-t}$=$\frac{PE}{8-2t}$=$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}$，
∴CE=t，PE=2t，
∴$\frac{t}{8-2t+2t}$=$\frac{1}{3}$，
∴t=$\frac{8}{3}$．