Question

△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．
（1）如图1，若∠BAC=60°，则∠BMC=

 

．
（2）如图2，若MN⊥BC于N，∠BAC=60°，则图中∠1-∠2=

 

．
（3）如图3，若MN⊥BC于N，∠BAC=90°，则图中∠1-∠2=

 

．
（4）如图4，若MN⊥BC于N，∠BAC=120°，则图中∠1-∠2=

 

．
（5）如图5，若MN⊥BC于N，∠BAC=α，求出图中∠1-∠2的度数．
（6）如图6，若∠BEC=α，∠BDC=β，那么∠BMC=

 

（用含α、β的代数式表示）．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）在△ABC中，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，先求得∠ABD+∠ACE的值，从而求得∠CBD+∠ECB的值；然后在△BMC中利用三角形内角和定理求得∠BMC度数；
（2）同（1）可得∠BMC=120°，进而可得∠1+∠3=120°①，由MN⊥BC可得：∠2+∠3=90°②，然后①-②即可得到∠1-∠2 的度数；
（3）同（1）可得∠BMC=135°，然后同（2）得∠1+∠3=135°①，由MN⊥BC可得：∠2+∠3=90°②，然后①-②即可得到∠1-∠2 的度数；
（4）同（3）可得∠1-∠2 的度数；
（5）同上先用∠α表示∠BMC的度数=90°+

1

2

∠α，然后表示∠1+∠3=90°+

1

2

∠α，然后由∠2+∠3=90°，两式相减即可得到∠1-∠2 的度数；
（6）利用外角的性质及上面（5）的结论即可用含α、β的代数式表示∠BMC=60°+

α+β

3

．

解答：解：（1）如图1，

∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠ECB；
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠CBD+2∠ECB=180°；
∵∠A=60°，
∴∠CBD+∠ECB=60°；
在△BMC中，
又∵∠BMC+∠CBD+∠ECB=180°，
∴∠BMC=120°．
故答案为：120°；
（2）同（1）可得∠BMC=120°，
∴∠1+∠3=120°①，
∵MN⊥BC，
∴∠2+∠3=90°②，
①-②得：∠1-∠2=30°，
故答案为：30°；
（3）同（1）可得∠BMC=135°，同（2）得∠1+∠3=135°①，
∵MN⊥BC，
∴∠2+∠3=90°②，
∴①-②得：∠1-∠2=45°，
故答案为：45°；
（4）同（3）可得∠1-∠2=60°，
故答案为：60°；
（5）同上可得：∠BMC=90°+

1

2

∠α，
∴∠1+∠3=90°+

1

2

∠α①，
∵∠2+∠3=90°②，
①-②得：
∠1-∠2=

1

2

∠α；
（6）由（5）可得∠BMC=90°+

1

2

∠A，
∵∠BEC=∠A+∠6，∠BDC=∠A+∠4，且∠4=∠5，∠6=∠7，
∴α=∠A+∠7①，β=∠A+∠5②，
①+②得：α+β=2∠A+（∠7+∠5），
∵∠BMC=90°+

1

2

∠A，
∴∠A=2∠BMC-180°，
∵∠7+∠5=180°-∠BMC，
∴α+β=4∠BMC-360°+180-∠BMC，
∴∠BMC=60°+

α+β

3

．
故答案为：60°+

α+β

3

．

点评：此题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及外角的性质，几个问题的设计具有层次性，一问扣一问，层层深入，解题的关键是：由浅入深，探寻规律．