Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，以点B为圆心，以2为半径作圆，P是AC上的一个动点，过点P作⊙B的一条切线，切点为Q．
（1）如图1，连接BP，BQ，当点P是AC的中点时，求证：△PBQ≌△BPC；
（2）如图2，求PQ的最小值，并确定此时点P的位置．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据切线的性质求得∠PQB=90°，然后根据已知求得PC=BQ=2，根据HL即可求得△PBQ≌△BPC；
（2）当P移动到C位置时，PQ的值最小，根据勾股定理即可求得PQ的最小值，从而确定P的位置．

解答：解：（1）∵PQ是⊙B的切线，
∴BQ⊥PQ，
∴∠PQB=90°，
∵AC=4，点P是AC的中点，
∴PC=2，
∵BQ=2，
∴PC=BQ，
在RT△PBC和RT△BPQ中，

PC=BQ PB=BP

，
∴RT△PBC≌RT△BPQ（HL），
即△PBQ≌△BPC；
（2）过C点作⊙B的切线CQ′，连接BQ′，
∴BQ′⊥CQ′，
∵BC=3，BQ′=2，
∴CQ′=

32-22

=

5

，
∴当P处于C位置时，PQ的值最小，最小值为

5

．

点评：本题考查 了切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握切线的性质以及三角形全等的判定是本题的关键．