题目内容

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象与二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）当k为何值时且0＜k＜2，求四边形PCMB的面积为
93
16
．
（参考公式：已知两点D（x1，y1），E（x2，y2），则线段DE的中点坐标为(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)）
分析：（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函数解析式，并确定顶点坐标；
（2）把E（2，3）代入y=kx中得正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和抛物线解析式，可得D点坐标，根据图象求出符合条件的x的范围；
（3）求直线与抛物线的交点D，E的坐标，根据中点坐标公式求出P点坐标，利用割补法表示四边形PCMB的面积，进而得出四边形PCMB的面积为
93
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时，k的值．
解答：解：（1）由y=ax2+bx+c，则得：
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
，
解得：
a=-1
b=2
c=3
，
故函数解析式为：y=-x2+2x+3=-（x-1） 2+4，
得出点M（1，4）．

（2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得：
3=2k，
k=
3
2
，故y=
3
2
x，
由
y=
3
2
x
y=-x2+2x+3
，
解得；
x=-
3
2
y=-
9
4
，
故D点坐标为：（-
3
2
，-
9
4
），
由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是-
3
2
＜x＜2．

（3）
y=kx
y=-x 2+2x+3
，
解得：点D，E坐标为D（
2-k-
k2-4k+16
2
，
2-k-
k2-4k+16
2
•k），
E（
2-k+
k2-4k+16
2
，
2-k+
k2-4k+16
2
•k），
则点P坐标为P（
2-k
2
，
2-k
2
•k）由0＜k＜2，知点P在第一象限，
由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S四边形POMB=
1×(3+4)
2
+
1
2
×2×4=
15
2
，
则S四边形PCMB=
15
2
-S△OPC-S△OPB=
15
2
-
1
2
×3×
2-k
2
-
1
2
×3×
2-k
2
•k，
整理得出：S四边形PCMB=
3
4
（k-
1
2
）2+
93
16
，
要求当k为何值时且0＜k＜2，四边形PCMB的面积为
93
16
，
得出
93
16
=
3
4
（k-
1
2
）2+
93
16
，
即0=
3
4
（k-
1
2
）2，
故当k=
1
2
时，四边形PCMB的面积为
93
16
．
点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及四边形面积运算，学会用两个函数交点横坐标表示两个函数值的大小关系，并对二次函数进行运用是解题重点．
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2
，
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4
），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
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