Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可得到待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式和对称轴方程；
（2）易知A、B、C的坐标，即可得到AB、BC、OB的长，若以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，则有两种情况：△OBD∽△ABC或△DBO∽△ABC，根据相似三角形所得比例线段，即可求得BD的长，易知△OBC是等腰直角三角形，那么△OBD也是等腰直角三角形，即可由BD的长求出DE、BE的值，从而确定点D的坐标；
（3）由于以MN为直径的圆与x轴相切，那么圆心的纵坐标的绝对值等于MN的一半也就是圆的半径，所以可利用抛物线的对称轴和圆的半径表示出M或N的坐标，然后代入抛物线的解析式中，即可求得此圆的半径长．

解答：解：（1）把点A（-1，0）、B（3，0）的坐标代入解析式中，得：

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，（1分）
解得

a=-1 b=2

；
∴解析式为y=-x²+2x+3，（2分）
对称轴为直线x=1；（3分）

（2）∵点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，OA=1，BC=3

2

，AB=4，
∠OCB=∠OBC=45°，tan∠CAO=3；（4分）
若△OBD∽△ABC，则

OB

BA

=

BD

BC

，（5分）
∴

3

4

=

BD

3 2

，BD=

9 2

4

，过D作DE⊥x轴于点E，
则DE=

2

2

•

9 2

4

=

9

4

，OE=OB-BE=OB-DE=3-

9

4

=

3

4

，
∴D (

3

4

， 

9

4

)；（6分）
若△DBO∽△ABC，则

OB

BC

=

BD

BA

，（7分）
∴

3

3 2

=

BD

4

，BD=2

2

，过D作DE⊥x轴于点E，
则DE=

2

2

•2

2

=2，OE=OB-BE=OB-DE=3-2=1，
∴D（1，2）（8分）
即D (

3

4

， 

9

4

)或D（1，2）；

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时
设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，r），（9分）
代入抛物线的表达式，
解得r=

-1+ 17

2

（10分）
②当直线MN在x轴下方时，
设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，-R），（11分）
代入抛物线的表达式，
解得R=

1+ 17

2

（12分）
∴圆的半径为

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识，同时还应用了分类讨论的数学思想，综合性强，难度较大．