Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t=4时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm²？

Answer 1

分析 （1）由于点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的长度，然后利用勾股定理即可求出PQ的长度；
（2）首先用t分别表示CP，CQ的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于t的方程，解方程即可解决问题；

解答 解：（1）当t=4时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=4cm，PC=AC-AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=10cm；

（2）∵AP=t，PC=AC-AP=10-t、CQ=2t，
∴S_△PQC=$\frac{1}{2}$PC×CQ=t（10-t）=16，
∴t₁=2，t₂=8，
当t=8时，CQ=2t=16＞15，∴舍去，
∴当t=2时，△PQC的面积等于16cm²；

点评 此题考查了勾股定理、三角形的面积公式、相似三角形的性质与判定等知识，综合性很强，比较难，内容比较多，也是一个动点问题，对于学生的能力要求比较高．