Question

8．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP．将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，若AP=2，BP=4，∠APB=135°．求PP′及PC的长．

Answer 1

分析 根据勾股定理以及旋转性质即可求出PP′，欲求PC只要证明△PP′C是直角三角形，然后利用勾股定理解决．

解答 解：∵△BCP′是由△ABP顺时针旋转90°所得
∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，
∴PP′=$\sqrt{P{B}^{2}+P′{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，
∴PC=$\sqrt{P′{P}^{2}+P′{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6．

点评 本题考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是135°角的应用，由135°推出∠PP′C=90°，属于中考常考题型．