Question

对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=

ax+by

2x+y

（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=

a×0+b×1

2×0+1

=b．
（1）已知T（1，-1）=-2，T（4，2）=1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组

T(2m，5-4m)≤4 T(m，3-2m)＞p

恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

Answer 1

考点：分式的混合运算,解二元一次方程组,一元一次不等式组的整数解

专题：新定义

分析：（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；
（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．

解答：解：（1）①根据题意得：T（1，-1）=

a-b

2-1

=-2，即a-b=-2；
T=（4，2）=

4a+2b

8+2

=1，即2a+b=5，
解得：a=1，b=3；
②根据题意得：

2m+3(5-4m) 4m+5-4m ≤4① m+3(3-2m) 2m+3-2m ＞p②

，
由①得：m≥-

1

2

；
由②得：m＜

9-3p

5

，
∴不等式组的解集为-

1

2

≤m＜

9-3p

5

，
∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，
∴2＜

9-3p

5

≤3，
解得：-2≤p＜-

1

3

；

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到

ax+by

2x+y

=

ay+bx

2y+x

，
整理得：（x²-y²）（2b-a）=0，
∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，
∴2b-a=0，即a=2b．

点评：此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．